|
поверхности
называется прямая линия, пересекающая
поверхность по крайней мере в двух бесконечно удаленных точках.
Асимптотическая плоскость - плоскость, касающаяся данной поверхности
в бесконечно удаленной точке, но не лежащая вся в бесконечности.
Асимптотическая поверхность - поверхность, обертывающая
асимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всякая поверхность
имеет, вообще говоря, бесконечно. большое число бесконечно удаленных
точек, а именно все точки пересечения ее с бесконечно удаленною
плоскостью, совокупность которых составляет бесконечно-удаленную кривую,
лежащую на данной поверхности. Всякой точке этой кривой соответствует
одна А., так что поверхность имеет бесконечное число А., вещественных
или мнимых. Так как в тоже время во всякой точке можно провести к
поверхности касательную плоскость, то поверхность имеет и бесконечное
число асимптотических плоскостей, вещественных или мнимых. Всякая такая
плоскость заключает в себе бесконечное число А., а так как все эти А.
пересекают поверхность в одной и той же бесконечно удаленной точке, то
они между собой параллельны. А.-ческая поверхность очевидно линейчатая
поверхность. Пусть уравнение данной поверхности есть F(x, у, z)=0 и
пусть х - n/l = у - h/m = z - z/n есть уравнение одной из А. Расположим
F по однородным функциям n-го, n-1-го и т.д. измерений: F=jn + jn-1
+...+ j1 + j0 Точки пересечения А. и поверхности суть корни уравнения
F(x+lr, h+mr, z+nr)= 0. Назовем через D операцию тогда будет, если jn ,
jn-1 ... означают функции от l,m,n rnjn+ rn-1j1-n (Djn + jn-1)
+(1/2)rn-2D2jn (Djn-1 +jn-2)+...=0
Простая A. получится, если два корня этого уравнения обратятся в
бесконечность, т. е. если jn = 0 и Djn +jn-1 =0. Уравнения эти
показывают, что все асимптоты параллельны производящей конической
поверхности jn(х, у, z)=0 и что все А. параллельные одной из
производящих этого конуса лежать в одной плоскости параллельной
плоскости касательной в конусу с соответствующей производящей.
Уравнение u=Djn + jn-1=0 есть уравнение одной асимптотической
плоскости. Для смежной асимптотической плоскости будет причем также и в
силу равенства l2 + m2 + n2 =1 ldl + mdm + ndn =0 , откуда получается .
Это последнее уравнение вместе с u=0 изображает линии сечения двух
смежных асимптотических плоскостей, то есть одну из производящих
асимптотической поверхности. Исключая из этих двух уравнений и jn (l, m,
n)=0 величины l, m, n, получим искомое уравнение асимптотической
поверхности. Можно показать, что в общем случае порядок асимптотической
поверхности для поверхности n-го порядка есть n (3n - 5). Поверхности
2-го порядка суть единственные, для которых асимптотические поверхности
также 2-го порядка. В особенных точках поверхностей их асимптотические
поверхности могут быть низшего порядка. В каждой касательной плоскости
есть две инфлексиональные касательные; точно также в каждой
асимптотической плоскости есть две инфлексиональные асимптоты,
проходятся через три последовательные точки поверхности, а так как
плоскость проведенная через инфлексиональную касательную пересекает
поверхность по кривой, имеющей точку перегиба в точке касания этой
касательной, то кривая пересечения поверхности и плоскости проходящей
через инфлексиональную асимптоту имеет точку перегиба в бесконечности.
Инфлексиональные асимптоты суть линии пересечения поверхности 1/2 D2 jn
+ Djn-1 = 0 и плоскости Djn + jn-1 = 0.
Если поверхность имеет двойную точку в бесконечности, то вместо
конуса jn = 0 получится цилиндр второго порядка. Касательные в двойной
точке, вообще говоря, пересекают поверхность в трех точках. Точно также
есть шесть производящих асимптотического цилиндра, пересекающих
поверхность в четырех точках. Кривая пересечения поверхности с
плоскостью параллельной направлению производящих цилиндра имеет двойную
точку в бесконечности. Эта двойная точка обращается в угловую точку,
если плоскость проходить через производящую цилиндра.
Асимптотическая точка. - Так называется точка, около которой
обращается кривая и, неопределенно приближаясь к ней, никогда ее не
достигает. Примером А-ой точки могут служить так назыв. локсодромия и
спираль арифметическая.
|
